La ricerca operativa e la determinazione del mix produttivo

Come la ricerca operativa giunge a determinare il calcolo del miglior mix produttivo in una qualsiasi impresa manifatturiera, in ragione dei rcavi e del limite delle risorse.

Con questo articolo e i prossimi sul tema intendiamo proporre ai nostri lettori una più amichevole interpretazione dei metodi che usa la ricerca operativa per fornire risposte alle imprese ed alle organizzazioni in genere. Abbiamo presentato nel precedente articolo gli scopi della ricerca operativa che utilizza modelli matematici per rispondere alle esigenze di pianificazione e di previsione delle aziende. In questa specifica sessione vogliamo sviluppare un esempio relativo alla pianificazione del mix di produzione di una qualasiasi impresa manifatturiera.
Presentiamo, quindi, i dati del problema.
Abbiamo uno stabilimento che ha due linee di produzione (limitiamo a soli due prodotti per semplificazione).
Il margine di contribuzione (ricavo per unità di prodotto) al netto di tutti i costi diretti e indiretti è pari a 4€ per il primo prodotto e 9€ per il secondo prodotto. Abbiamo dei vincoli imposti dalle risorse scarse, il primo prodotto richiede 2 ore di lavoro per unità, mentre il secondo ne richiede 4, tuttavia i dipendenti sono solo 5 a contratto di 36 ore settimanali; un altro vincolo è dato dal fatto che la disponibilità di materia prima per il primo prodotto è pari a 60 kg a settimana, mentre per il secondo prodotto è di 30 kg a settimana (immaginiamo che il mercato degli input sia anaelastico e l’azienda può fare affidamento solo su queste quantità di materia prima). La domanda secca è : “Qual è il mix di produzione settimanale che possiamo sostenere per massimizzare i ricavi entro il limite delle risorse di cui disponiamo?”
La ricerca operativa è in grado di fornire la risposta. Come procede? Trasforma in un modello matematico il problema. Per farlo utilizza gli strumenti dell’analisi matematica, nello specifico utilizzando la rappresentazione grafica sul piano, i sistemi lineari, il calcolo matriciale, i grafi ed altri sofisticati mezzi che la matemtatica mette a disposizione. Nel caso dell’esempio è sufficiente (trattandosi di un caso banale) utilizzare la rappresentazione grafica e un minimo di geometria analitica, passando, però prima dalla rappresentazione sul piano di una funzione matematica. Una funzione, in estrema sintesi, è una notazione matematica che associa ad un oggetto un altro oggetto, nel caso dei numeri, ad un numero un altro numero, per esempio la notazione y=x^2 indica che ad ogni numero x associamo il suo quadrato. Giunti a questo punto, possiamo rappresentare la funzione obiettivo (quale produzione in relazione ai vincoli che massimizza i ricavi?) con un fascio di rette (nel grafico - vei link in fondo all'articolo - si tratta del fascio di rette con la freccia orientata verso l’alto) ove X1 ed X2 rappresentano rispettivamente il primo e il secondo prodotto. Si noti che il coefficiente di X1 è 4, mentre quello di X2 è 9 (tali coefficienti corrispondono ai ricavi unitari per prodotto).

Nel sistema di disequazioni, rappresentiamo anche i vincoli dati rispettivamente dal lavoro 36 ore x 5 = 180 ore settimanali, le due produzioni, si noti, non possono superare insieme le 180 ore; poi abbiamo i vincoli in kg della prima risorsa e della seconda, rispettivamente 60 e 30 kg.
Posto che la produzione è certamente un dato positivo, se rappresentiamo nel piano la funzione obiettivo ed i vincoli, l’intersezione delle tre rette (cioè dei tre vincoli, ognuno associato ad un numero romano) definiscono una area di ammissibilità del problema, la cosiddetta regione ammissibile, il problema, in sintesi, deve trovare soluzione al più al confine di questa area (per esempio, la risorsa x1 = vincolo (II) NON può essere superiore a 60 kg, da qui la retta che definisce il limite della regione relativamente alla risorsa X1 che deve stare tra 0 e 60). E così via per gli altri due vincoli. IL vincolo del lavoro è rappresentato dalla retta (I) che taglia i due assi cartesiani. Qual è la soluzione ottima del problema che risponde alla domanda? Essa è data dall’intersezione del fascio di rette della funzione obiettivo che tocca il vertice, entro al più la regione ammissibile, con il valore più alto tra quelli possibili, questo è il punto A = (30,30); cioè per poter massimizzare i ricavi, dati i vincoli delle risorse, il miglior mix di produzione che assicura questo risultato è il punto A. Infatti sostituendo i valori X1=30 E X2=30, nella funzione obiettivo il risultato è pari a 390€, se proviamo a sostituire qualsiasi altri punto, scelto a caso, pur entro la regione ammissibile, nella funzione obiettivo (provateci!) si otterrà un valore inferiore.

Aldilà delle questioni tecniche e della metodologia che la ricerca operativa utilizza, quello che vogliamo dimostrare con questo banale esempio è che la modellizzazione matematica può certo essere utilizzata per la soluzione di problemi anche molto complessi. Molti software ragionano con questa logica e sono sfruttati dalle aziende per assumere decisioni molto complesse a cui il management si affida.
Nei prossimi post cercheremo di produrre un’antologia di casi storici che possono certamente aiutare a capire come questi approccio freddo possa aiutare realmente le aziende a risolvere problemi specifici e/o a gestire la complessità. Immaginate come si complicherebbe il modello in una logica di produzione ove vi fossero, per esempio, anche solo 20 prodotti. Le applicazione sono infinite. Al prossimo post.

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